Abstrakt Algebra: Grupper, Ringar och Kroppar


Denna sida ämnar att gå igenom vissa grundläggande men enligt mig intressanta resultat inom de olika områdena i abstrakt algebra.

C4 x C4

Cykelgraf till gruppen $C_4 \times C_4.$


Innehåll

Sidoklasser och Kvotgrupper


Låt $G$ vara en grupp med delgrupp $H.$ (Den vänstra) Sidoklassen till $H$ med avseende på ett element $a \in G$ är $aH := \{ah \mid h \in H\}.$


Sidoklasserna bildar en klassindelning av $G,$ dvs. sidoklasserna är parvis disjunkta och unionen av alla sidoklasser täcker $G.$ Varje sidoklass har dessutom lika många element.

Antag att $aH \cap bH \neq \emptyset,$ vi har då ett element $$c = ah = bh'$$ för något $h, h' \in H.$ Detta betyder att $a = b(h'h^{-1}) \in bH,$ så $aH \subseteq bH.$ På samma sätt får vi $bH \subseteq aH$ vilket betyder att $aH = bH.$


Att alla sidoklasser har lika många element följer av att multiplikationen $a : H \longrightarrow aH$ som skickar $h \mapsto ah$ är en bijektion, ty den har inversen $a^{-1} : aH \longrightarrow H,$ så $|H| = |aH|$ för alla $a \in G.$

Detta innebär också att om $G$ är en ändlig grupp med delgrupp $H$ så gäller $$|G| = [G : H] \cdot |H|,$$ där $[G : H]$ är antalet sidoklasser till $H$ i $G.$ Att $|H|$ delar $|G|$ är känt som Lagranges sats.


En normal delgrupp $N$ till $G$ är en delgrupp där $gng^{-1} \in N$ för varje $g \in G$ och $n \in N.$ Med normala delgrupper kan vi definiera kvotgrupper. Kvotgruppen $G/N$ definieras som mängden av alla sidoklassser till $N$ i $G,$ med multiplikationen $aN \cdot bN := (ab)N.$


Sidoklassmultiplikationen ovan är väldefinierad om och endast om $N$ är normal.

Antag att $N$ är normal. Vi vill visa att om $xN = x'N$ och $yN = y'N$ så är $xyN = x'y'N.$ Då $N$ är normal så är $yN = Ny,$ så $xyN = xNy = x'Ny' = x'y'N.$


Antag att multiplikationen är väldefinierad, vi vet att $N = nN$ för $n \in N,$ så $gN = gnN.$ Om vi multiplicerar båda led med $g^{-1}N$ från höger så får vi $N = gng^{-1}N,$ vilket är detsamma som $gng^{-1} \in N.$

Om $G$ är abelsk så är varje delgrupp $N$ normal.

$gng^{-1} = n(gg^{-1}) = n \in N$ för varje $g \in G.$

Om $H$ är en delgrupp till $G$ med två sidoklasser så är $N$ normal.

De två vänstersidoklasserna är $H$ och $aH$ för något $a \notin H$, och de två högersidoklasserna är $H$ och $Ha$. Men efterssom sidoklasserna bildar en klassindelning av $G$ så är $aH = G \setminus H = Ha \iff aha^{-1} \in H.$

Vad finns det då för exempel på delgrupper som inte är normala? Den minsta icke-abelska gruppen är $S_3$, som har $D = \{( ), (1 2)\}$ som delgrupp, och vi kan se att till exempel $(1 3) (1 2) (1 3) = (2 3) \not\in D.$

Cykliska Grupper


Varje cyklisk grupp $C_n$ är abelsk.

$a^r a^s = a^{r+s} = a^{s+r} = a^s a^r.$

Varje grupp $G$ med primtalsordning är cyklisk.

Om $G$ har primtalsordning så säger Lagranges sats att det inte finns några äkta delgrupper till $G.$ Varje element $a \neq e$ i $G$ genererar då hela gruppen, så $G$ måste vara cyklisk.

Varje delgrupp $H$ till en cyklisk grupp $G$ är cyklisk.

Låt $G = \langle a \rangle.$ Varje element i $H$ kan skrivas som $a^n$ för något heltal $n.$ Låt $m$ vara det minsta positiva heltalet så att $a^m \in H$ och låt $b = a^m.$ Vi vill visa att varje $a^n \in H$ kan skrivas som $b^k.$


Vi vet att vi kan skriva $n = mk + r$ för något $0 \leq r < m.$ Så $a^n = (a^m)^k a^r,$ vilket innebär att $a^r = (a^m)^{-k} a^n \in H.$ Men $m$ är det minsta positiva heltalet så att $a^m \in H,$ så $r < m \implies r = 0$ och vi får $a^n = (a^m)^k = b^k.$

Låt $C_n$ och $C_m$ vara cykliska grupper. Talet $k$ delar då $\text{lcm}(n, m)$ om och endast om $C_k$ är en delgrupp till $C_n \times C_m.$

Låt $C_n = \langle a \rangle$ och $C_m = \langle b \rangle.$ Vi har alltid $(a, b)^{\text{lcm}(n, m)} = (e, e),$ så en delgrupp till $C_n \times C_m$ kan ej ha större ordning än $\text{lcm}(n, m).$


Om: Låt $C_k = \langle (a^i, b^j) \rangle$ vara en delgrupp, att $k$ delar $\text{lcm}(n, m)$ följer av att $(a^i, b^j)^{\text{lcm}(n, m)} = (e, e) = (a^i, b^j)^k.$


Endast om: Låt $\text{lcm}(n, m) = kd.$ Då har $(a^d, b^d) \neq (e, e)$ ordning $k,$ och genererar därför delgruppen $C_k.$

En grupp $G$ är cyklisk om och endast om $G$ har ett element med ordning $|G|.$

Om: Låt $a \in G$ ha ordning $|G|.$ Då är $C_{|G|}$ en delgrupp till $G,$ så $G \cong C_{|G|}.$


Endast om: Låt $G$ vara cyklisk, det genereras då av ett element med ordning $|G|.$

Låt $C_n$ och $C_m$ vara två cykliska grupper med relativt prima ordningar. Då gäller $C_n \times C_m \cong C_{nm}.$

Låt $C_n = \langle a \rangle$ och $C_m = \langle b \rangle.$ Elementet $(a, b) \in C_n \times C_m$ har då ordning $nm,$ och från Prop. 2.5 får vi att $C_n \times C_m \cong C_{nm}.$

Låt $C_n$ och $C_m$ vara två cykliska grupper med icke relativt prima ordningar. Då gäller $C_n \times C_m \not\cong C_{nm}.$

Låt $C_n = \langle a \rangle$ och $C_m = \langle b \rangle$ och $n = xy$ medans $m = xz.$ Varje element $(a^i, b^j) \in C_n \times C_m$ upphöjt i $xyz$ är då lika med $e,$ (se Prop. 3.1) så inget element kan ha ordning $x^2yz = nm.$ Från Prop. 2.5 får vi att $C_n \times C_m \not\cong C_{nm}.$

Ordning i Grupper


Låt $a$ vara ett element i en ändlig grupp $G.$ Då gäller $a^{|G|} = e.$

Elementet $a$ genererar en cyklisk delgrupp $C_n = \{e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}\}$ till $G,$ där $n$ är ordningen av $a.$ Enligt Lagranges sats vet vi då att $n$ delar $|G|,$ dvs. $|G| = nk.$ Vi får då $a^{|G|} = a^{nk} = (a^n)^k = e.$

Låt $ab$ vara ett element i $G$ med ordning $n.$ Elementet $ba$ har då också ordning $n.$

Observera att detta gäller även om $G$ är icke-abelsk.

\begin{align} e &= (ab)^n \\ &= ababa \cdots bab \\ &= a(ba)(ba) \cdots (ba)b \\ &= a(ba)^{n-1}b \end{align} Skriver vi om detta får vi $(ba)^{n-1} = a^{-1}b^{-1},$ vilket medför att $(ba)^n= e.$

Nästa sats är tagen från JS Milnes föreläsningsanteckningar i gruppteori. Satsen innebär att om $G$ är en godtycklig grupp och $a, b \in G$ så kan man man inte dra någon slutsats om ordningen för $ab$ trots att man vet ordningen av $a$ och $b.$


Låt $m, n, r$ vara positiva heltal. Det finns då en ändlig grupp $G$ med element $a$ och $b$ så att $a$ har ordning $m,$ $b$ har ordning $n$ och $ab$ har ordning $r.$

TODO

Gruppers Mäktighet


Från sats 2.2 vet vi vilka grupper det finns med ordning 1, 2 och 3. Hur många grupper finns det med ordning 4?


Alla element i en grupp $G$ är med exakt en gång per rad och kolumn i dess Cayleytabell.

Antag att det finns en rad $a$ så att $ab = ac,$ för två olika kolumner $b \neq c.$ Vi kan då multiplicera med $a^{-1}$ och vi får $b = c,$ en motsägelse.


Detsamma gäller för kolumner, så varje element i en Cayleytabell är med exakt en gång per rad och kolumn. Detta kallas för en latinsk kvadrat.

Från propositionen ovan kan vi lista ut hur många grupper det finns med ordning 4, vilket visar sig vara $C_4$ och $C_2 \times C_2,$ ty alla Cayleytabeller med fyra element är isomorfa till ett av följande.

\[ \begin{array}{|c|c c|} \hline * & e & a & b & c \\\hline e & e & a & b & c \\ a & a & b & c & e \\ b & b & c & e & a \\ c & c & e & a & b \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|c c|} \hline * & e & a & b & c \\\hline e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \\ \hline \end{array} \]

Nu kan vi alla grupper med ordning till och med 5, vilka grupper är det som har ordning 6?