Del I:
Varje ändlig abelsk grupp $G$ kan faktorernas i abelska grupper med primtalpotensordning.
Låt $|G| = \prod_{i=1}^n p_i^{k_i}.$ Vi vill att $G = \prod_{i=1}^n H_i,$
där $H_i = \{x \in G \text{ | } x^{(p_i^{k_i})} = e\}.$
Detta bevisar vi genom induktion. Som basfall har vi $n = 1 \implies H_1 = G,$ ty $x^{(p^k)} = x^{|G|} = e.$
Anta nu att det gäller för $n = m.$
Ta nu fallet $n = m+1.$ Låt $|G| = mp^k$ där $p$ inte delar $m,$ och låt $H = \{x \in G \text{ | } x^{(p^k)} = e\}$
och $M = \{x \in G \text{ | } x^{m} = e\}.$ Vi vill visa att $G = HM$ och $H \cap M = \{e\},$ vilket
medför att $G = H \times M.$
Enligt Bézouts Lemma finns det heltal $a, b$ så att $am + bp^k = 1.$
Varje $x \in G$ kan då skrivas som $x^1 = x^{am + bp^k} = x^{am} x^{bp^k},$
där $x^{am} \in H,$ $x^{bp^k} \in M,$ så $G = HM.$
Anta nu att $x \in H \cap M,$ vi har då att $x^m = e = x^{p^k},$ med andra ord $|x|$ delar
$m$ och $p^k.$ Eftersom $p$ inte delar $m$ så har vi $|x| = 1 \implies x = e,$ så $H \cap M = \{e\}.$
Vi har därför att $G = H \times M,$ där $H = H_1$ och $|M| = \prod_{i=2}^{m+1} p_i^{k_i},$ vilket
uppfyller induktionsantagandet och vi har $G = \prod_{i=1}^{m+1} H_i.$
Del II:
Varje abelsk grupp $G$ med primtalpotensordning är isomorf med en direkt summa
av cykliska grupper med primtalpotensordning.
Vi visar detta genom att visa att om $a$ har maximal ordning i $G$ så kan vi skriva om
$G = \langle a \rangle \times H$ för någon delgrupp $H.$ Då $H$ också är abelsk följer det med induktion att vi kan skriva $G$ som
en direkt summa av cykliska grupper med primtalpotensordning.
Fallet för $p^1$ är fungerar direkt då varje abelsk grupp med primtalsordning är cyklisk.
Anta att det gäller för $n = m.$
Ta nu fallet $n = m+1.$ Låt $a$ ha maximal ordning $p^{m+1}$ i $G.$
Om $G = \langle a \rangle$ är vi klara, anta därför $G \neq \langle a \rangle.$
Vi faktorerar ut $G = \langle a \rangle \times H$ för en grupp $H$ med lägre
primtalpotensordning och uppfyller därmed induktionsantagandet. Vi låter $H$ vara
delgruppen som är maximal med avseende på $\langle a \rangle \cap H = \{e\}$
och vi visar att $\langle a \rangle H = G.$
Fundamentalsatsen följer sedan direkt. Notera att vi inte har visat varför denna faktoriseringen är unik.