Matematikens Fundamentalsatser


Ett fåtal satser inom matematiken anses vara så centrala och betydelsefulla för ett visst område att de döps till det områdets fundamentalsats. Denna sida går igenom de olika satserna som allmänt kallas för fundamentalsatser, vilket till stor del beror på tradition.

Elementa

Euklides lemma, Prop. XXX, Bok VII. Används i beviset för aritmetikens fundamentalsats.
Bild: Clay Mathematics Institute Historical Archive, kopia från Konstantinopel 888 e.Kr.


Nuvarande Satser

Algebrans Fundamentalsats


Varje polynom av grad $n \geq 1$ med komplexa koefficienter har minst en komplex rot.

Låt $f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0,$ där $a_n \neq 0,$ vara ett polynom med komplexa koefficienter och antag att den inte har någon komplex rot, dvs. att $f(z) \neq 0$ för alla $z \in \mathbb C.$ Funktionen $g(z) := \frac{1}{f(z)}$ och dess derivata har då inga singulära punkter, så $g(z)$ är analytisk i hela $\mathbb C.$


Liouvilles sats säger att varje begränsad funktion som är analytisk i hela $\mathbb C$ måste vara konstant. Om vi visar att $g(z)$ är begränsad följer därmed fundamentalsatsen. Vi ser direkt att

$$\lim_{|z| \rightarrow \infty} |f(z)| = \infty$$
För tillräckligt stort $R$ har vi då $|f(z)| > |a_0|$ för alla $|z| > R.$ I cirkelskivan $D = \{z \in \mathbb C : |z| \leq R\}$ så är $|f(z)|$ nedåt begränsad $(0 < |f(z)|$ enligt antagandet) och har därför ett infimum $m$ i $D.$ Eftersom skivan är sluten så är $m$ minimivärdet till $|f(z)|$ i $D$ och därmed i hela $\mathbb C,$ och vi får följande begränsning:
$$|g(z)| \leq \frac{1}{m}$$

Analysens Fundamentalsats


Låt $f(x)$ vara en kontinuerlig funktion på intervallet $[a, b],$ då gäller följande:

$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt,\ t \in [a, b]$$
Är en primitiv funktion till $f(x)$ på $[a, b].$
Om $G(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$ på $[a, b]$ så gäller
$$\int_{a}^{b} f(t) dt = G(b) - G(a)$$

Del I: Att $F(x)$ är primitiv funktion till $f(x)$ innebär att $F'(x) = f(x).$

$$\begin{align} F'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \big( \int_{a}^{x+h} f(t) dt - \int_{a}^{x+h} f(t) dt \big) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt \end{align}$$
Integralkalkylens medelvärdessats säger att om $f(x)$ är kontinuerlig på intervallet $[a, b],$ så finns det en punkt $c \in (a, b)$ så att $f(c)(b - a) = \int_{a}^{b} f(t) dt.$
$$\begin{align} F'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f(c) (x + h - x) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} f(c) \end{align}$$
Eftersom $c \in [x, x+h]$ så är $\lim_{h \rightarrow 0} c = x$ och vi får $F'(x) = f(x).$


Del II: Enligt Del I vet vi att $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ är en primitiv funktion till $f(x),$ så $H(x) := G(x) - F(x)$ är en konstant funktion, ty

$$H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$
Låt $k = H(x),$ stoppar vi in $x = a$ så får vi
$$k = G(a) - \int_{a}^{a} f(t) dt = G(a)$$
Så $F(x) = G(x) - G(a),$ och stoppar vi in $x = b$ får vi
$$\int_{a}^{b} f(t) dt = G(b) - G(a)$$

Denna sats kallas också för integralkalkylens fundamentalsats.

Aritmetikens Fundamentalsats


Varje heltal större än 1 har en unik primtalsfaktorisering, bortsett från faktorernas inbördes ordning.

Det finns en primtalsfaktorisering: Basfall: Det gäller för $n = 2.$
Antag att det gäller för $n \in \{2, 3, \ldots, k\}.$ Om $k+1$ är ett primtal så är vi klara, annars kan vi skriva det som $k+1 = p N$ för något primtal $p.$ Som störst är $N = \frac{k+1}{2},$ så $N \in \{2, 3, \ldots, k\}$ och påståendet följer från induktionsantagandet.


Det finns en endast en primtalsfaktorisering: Antag att vi har två olika primtalsfaktoriseringar av $n,$ dvs.

$$n = p_1 p_2 \cdots p_a = q_1 q_2 \cdots q_b$$
Låt $P = \{p_1, p_2, \ldots, p_a\}$ och $Q = \{q_1, q_2, \ldots, q_b\}.$ Euklides lemma säger att om $p$ är ett primtal så har vi $p \mid ab \implies p \mid a$ eller $p \mid b,$ så varje $p_i$ delar något $q_j.$ Eftersom $q_j$ är ett primtal så har vi $p_i = q_j,$ därmed får vi $P \subseteq Q$ och på samma sätt får vi $Q \subseteq P,$ så $P = Q$ och faktoriseringen är unik.

Fundamentalsatsen för Ekvivalensrelationer


Låt $R \subseteq M \times M$ vara en ekvivalensrelation $\sim$ på mängden $M.$ Mängden av alla ekvivalensklasser $[x]_R := \{y \in M \mid x \sim y \in R\}$ bildar då en klassindelning av $M,$ dvs. de är parvis disjunkta och unionen av dem täcker $M.$


Låt $K$ vara en klassindelning av $M.$ Relationen $R'$ som motsvarar att tillhöra samma klass i $K$ är en ekvivalensrelation.

Del I: Varje element i $M$ tillhör sin egen ekvivalensklass, vi får då

$$\bigcup_{x \in M} [x]_R = M.$$
Kvar att visa är att de är parvis disjunkta. Antag att $[x]_R \cap [y]_R \neq \emptyset.$ Det finns då en $z \in M$ så att $z \sim x$ och $z \sim y.$ Från symmetri- och transitivitetsegenskaperna får vi att $x \sim y,$ och kontrapositionen av detta är
$$x \not\sim y \implies [x]_R \cap [y]_R = \emptyset,$$
vilket är vad vi ville visa.


Del II: $R'$ är reflexiv, ty varje $x \in M$ tillhör endast en klass i $K,$ så $x \sim x$ för alla $x \in M.$ $R'$ är symmetrisk, ty om $x \sim y$ så tillhör $x$ och $y$ samma klass och då gäller även $y \sim x.$ $R'$ är transitiv, ty om $x \sim y$ och $y \sim z$ så tillhör $x, y, z$ samma klass och då gäller även $x \sim z.$

Galoisteorins Fundamentalsats (ej klar)


Låt $K/F$ vara en ändlig Galoisutvidgning och låt $G = \text{Gal}(K/F).$ Det finns då en bijektion mellan delgrupperna $H$ till $G$ och de mellanliggande kropparna $F \subseteq E \subseteq K,$ och bijektionen är dessutom inklusionsomvändande, dvs. att

$$H_1 \subseteq H_2 \iff E^{H_1} \supseteq E^{H_2}$$

TODO

Den Fundamentala Homomorfisatsen


Låt $\varphi : G \longrightarrow H$ vara en grupphomomorfi, då gäller

$$\text{im}(\varphi) \cong G/\ker(\varphi)$$

ker($\varphi$) är en normal delgrupp till $G$: Låt $K = \ker(\varphi).$
$\varphi(e_G) = e_H$ så $K$ är icke-tom. Om $x, y \in K$ har vi

$$\varphi(x^{-1} y) = \varphi(x^{-1}) \varphi(y) = \varphi(x)^{-1} \varphi(y) = e_H^{-1} e_H = e_H$$
Så $x^{-1}y \in K,$ vilket betyder att $K$ är en delgrupp till $G.$ Om $g \in G$ och $k \in K$ får vi $\varphi(gkg^{-1}) = \varphi(g) e_H \varphi(g)^{-1} = e_H,$ så $K$ är en normal delgrupp till $G.$


im($\varphi$) är en delgrupp till $H$: $\varphi(e_G) = e_H$ så im$(\varphi)$ är icke-tom. Om $\varphi(x), \varphi(y) \in I$ så är $\varphi(x)^{-1} \varphi(y) \in \text{im}(\varphi),$ ty

$$\varphi(x)^{-1} \varphi(y) = \varphi(x^{-1} y) \in \text{im}(\varphi)$$
Vilket betyder att im$(\varphi)$ är en delgrupp till $G.$


im$(\varphi) \cong G/K$: Definiera $\psi : G/K \longrightarrow \text{im}(\varphi)$ som projektionen $\psi(xK) = \varphi(x).$ Först måste vi visa att $\psi$ är väldefinierad, antag att $x K = x' K.$ Då är $x^{-1} x' \in K,$ vilket betyder att

$$\begin{align} e_H &= \varphi(x^{-1} x') = \varphi(x)^{-1} \varphi(x') \\ &\iff \varphi(x) = \varphi(x') \\ &\iff \psi(x K) = \psi(x' K) \end{align}$$
Sen måste vi visa att $\psi$ är en homomorfi, vilket följer av
$$\psi(x K) \psi(y K) = \varphi(x) \varphi(y) = \varphi(xy) = \psi(xy K)$$
Vi vill visa att $\psi$ är en isomorfi, att den är injektiv följer av
$$\begin{align} \psi(xK) = \psi(yK) &\iff \varphi(x) = \varphi(y) \\ &\implies e_H = \varphi(x^{-1} y) \\ &\implies x^{-1} y \in K \\ &\implies xK = yK \end{align}$$
och den är surjektiv ty $\psi(x K) = \varphi(x)$ för varje $\varphi(x) \in \text{im}(\varphi).$

Denna sats kallas också för den första isomorfisatsen. Observera att "den fundamentala homomorfisatsen" ibland syftar på faktoriseringssatsen för homomorfier.


Även om vi gick igenom satsen för grupper så är både satsen och beviset liknande för andra strukturer, som t ex ringar och moduler.

Fundamentalsatsen för Ändliga Abelska Grupper


Varje ändlig abelsk grupp $G$ är isomorf med en direkt summa av cykliska grupper med primtalpotensordning $C_{p^k}.$


Observera att direkta summor av cykliska grupper med relativt prima ordningar är isomorfa, dvs. $C_2 \times C_3 \cong C_6,$ men om ordningarna ej är relativt prima så är det olika grupper, dvs. $C_2 \times C_4 \not\cong C_8.$

Del I: Varje ändlig abelsk grupp $G$ kan faktorernas i abelska grupper med primtalpotensordning.


Låt $|G| = \prod_{i=1}^n p_i^{k_i}.$ Vi vill att $G = \prod_{i=1}^n H_i,$ där $H_i = \{x \in G \text{ | } x^{(p_i^{k_i})} = e\}.$ Detta bevisar vi genom induktion. Som basfall har vi $n = 1 \implies H_1 = G,$ ty $x^{(p^k)} = x^{|G|} = e.$ Anta nu att det gäller för $n = m.$


Ta nu fallet $n = m+1.$ Låt $|G| = mp^k$ där $p$ inte delar $m,$ och låt $H = \{x \in G \text{ | } x^{(p^k)} = e\}$ och $M = \{x \in G \text{ | } x^{m} = e\}.$ Vi vill visa att $G = HM$ och $H \cap M = \{e\},$ vilket medför att $G = H \times M.$


Enligt Bézouts Lemma finns det heltal $a, b$ så att $am + bp^k = 1.$ Varje $x \in G$ kan då skrivas som $x^1 = x^{am + bp^k} = x^{am} x^{bp^k},$ där $x^{am} \in H,$ $x^{bp^k} \in M,$ så $G = HM.$


Anta nu att $x \in H \cap M,$ vi har då att $x^m = e = x^{p^k},$ med andra ord $|x|$ delar $m$ och $p^k.$ Eftersom $p$ inte delar $m$ så har vi $|x| = 1 \implies x = e,$ så $H \cap M = \{e\}.$


Vi har därför att $G = H \times M,$ där $H = H_1$ och $|M| = \prod_{i=2}^{m+1} p_i^{k_i},$ vilket uppfyller induktionsantagandet och vi har $G = \prod_{i=1}^{m+1} H_i.$


Del II: Varje abelsk grupp $G$ med primtalpotensordning är isomorf med en direkt summa av cykliska grupper med primtalpotensordning.


Vi visar detta genom att visa att om $a$ har maximal ordning i $G$ så kan vi skriva om $G = \langle a \rangle \times H$ för någon delgrupp $H.$ Då $H$ också är abelsk följer det med induktion att vi kan skriva $G$ som en direkt summa av cykliska grupper med primtalpotensordning.


Fallet för $p^1$ är fungerar direkt då varje abelsk grupp med primtalsordning är cyklisk. Anta att det gäller för $n = m.$


Ta nu fallet $n = m+1.$ Låt $a$ ha maximal ordning $p^{m+1}$ i $G.$ Om $G = \langle a \rangle$ är vi klara, anta därför $G \neq \langle a \rangle.$ Vi faktorerar ut $G = \langle a \rangle \times H$ för en grupp $H$ med lägre primtalpotensordning och uppfyller därmed induktionsantagandet. Vi låter $H$ vara delgruppen som är maximal med avseende på $\langle a \rangle \cap H = \{e\}$ och vi visar att $\langle a \rangle H = G.$


Fundamentalsatsen följer sedan direkt. Notera att vi inte har visat varför denna faktoriseringen är unik.

Denna sats följer direkt av nedanstående mer generella satser. Dessa satser kallas ibland också för respektive struktursats.

Fundamentalsatsen för Ändligt Genererade Abelska Grupper (ej klar)


Varje ändligt genererad abelsk grupp $G$ är isomorf med en direkt summa av $n \geq 0$ oändliga cykliska grupper $\mathbb Z$ och cykliska grupper med primtalpotensordning $C_{p^k}.$

TODO

Fundamentalsatsen för Ändligt Genererade Moduler över en Huvudidealring (ej klar)


Låt $M$ vara en ändligt genererad $R$-modul, där $R$ är en huvudidealring. $M$ är då isomorf med en direkt summa av fria $R-$moduler och vridningsmodulen av $M.$ Dvs.

$$M \cong R^n \oplus \text{Tor}(M) \text{, där } n \geq 0$$

TODO