Här kommer vi att gå igenom övningarna i Category Theory for the Working Mathematician av Saunders Mac Lane, 2:a upplagan. Vi tar ibland hjälp av olika resurser som står länkade i respektive uppgift, eller ibland också av Stefan Dawydiaks anteckningar, vilket i skrivande stund är version 0.3 från 2 juli 2020.
Saunders Mac Lane, ca. 1972.
Bild: Konrad Jacobs, Erlangen. Copyright MFO.
1. Visa hur följande konstruktioner kan betraktas som en funktor:
a) Kvotkroppen av en integritetsring.
b) Liealgebran av en Liegrupp.
a) Låt $R$ vara ett integritetsområde (kommutativ ring utan nolldelare). Dess kvotkropp $K(R)$ kännetecknas av följande universell egenskap:
Om $f : R \rightarrow K$ är en injektiv ringhomomorfism från $R$ till en kropp $K$, så finns det en unik ringhomomorfism
$f' : K(R) \rightarrow K$ som utökar $f.$
$[f'(x/1) = f(x), \text{ och } f'((x/1)(1/x)) = f'(1, 1) \implies f'(1/x) = 1/f(x)]$
Därmed kan vi betrakta a) som en funktor $K$ från kategorin bestående av integritetsringar med injektiva ringhomomorfismer till kategorin av kroppar. Vår funktor skickar då $R$ till $K(R)$ och $g : R \rightarrow S$ till $K(g) : K(R) \rightarrow K(S)$, där $K(g) = (\iota \circ g)'$ och $\iota : S \rightarrow K(S)$ är injektionen som skickar $s \mapsto (s, 1)$.
b) En Liegrupp $G$ är en grupp som också är en ändligdimensionell glatt $(C^{\infty})$ mångfald $[n$-dimensionellt topologiskt rum där varje punkt har en omgivning som är (iso-)homeomorft med $\mathbb{R}^n]$ där multiplikation och invers är glatta funktioner. Liealgebran $\mathfrak{g}$ är mängden av alla vänsterinvarianta vektorfält i $G,$ och är därför isomorft med $T_eG,$ där $T_e$ är tangentrummet vid $e,$ då vi genom multiplikation med $g \in G$ kan gå från en vektor $v \in T_e G$ till en vektor $w \in T_g G.$
Låt $\phi : G \rightarrow H$ vara en Liegruppsmorfism. Vi vill visa att $d\phi_e : \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{h}$ är en Liealgebramorfism ty vi har då en funktor $\text{Lie} : G \rightarrow T_eG.$ Då $\phi$ är en Liegruppsmorfism så gäller
2. Visa att funktorerna $\mathbb{1} \rightarrow \mathcal{C}, \mathbb{2} \rightarrow \mathcal{C} \text{ och } \mathbb{3} \rightarrow \mathcal{C}$ motsvarar objekt, morfismer respektive kompositionsbara morfismer i $\mathcal{C}.$
$\mathbb{1} \rightarrow \mathcal{C}$ väljer ut ett objekt i $\mathcal{C}$ och $F(\text{id}_1) = \text{id}_{F(1)}.$
$\mathbb{2} \rightarrow \mathcal{C}$ väljer på samma sätt ut två objekt i $\mathcal{C}$ med en morfism $F(1) \rightarrow F(2).$
Då $\mathbb{3}$ är kategorin med tre objekt och tre (icke-identitets-) pilar så väljer $\mathbb{3} \rightarrow \mathcal{C}$
på samma sätt ut tre objekt i $\mathcal{C}$ och vi har komposition i $F(\mathbb{3})$ då vi har det i $\mathbb{3}.$
1. Låt $S$ vara en mängd och låt $X^S$ vara mängden av alla funktioner $h : S \rightarrow X.$ Visa att $X \mapsto X^S$ är objektfunktionen till en funktor $\text{Set} \rightarrow \text{Set}$ och att utvärderingen $e_X : X^S \times S \rightarrow X,$ där $e(h, s) = h(s)$ är en naturlig transformation.
Detta definierar en funktor $T(-) = \text{Hom}(S, -)$ där varje pil $f : X \rightarrow Y$ skickas till $T(f) : X^S \rightarrow Y^S$ där $h \mapsto f \circ h$, för $h \in X^S$. Komposition och identiteter bevaras så det är en funktor. Likaså är $G(X) = X^S \times S$ en funktor från $\text{Set} \rightarrow \text{Set}$, där $G(f) : X^S \times S \rightarrow Y^S \times S$ där $h \times 1 \mapsto (f \circ h) \times 1$. Vi ser att $e_X$ är en naturlig transformation över $G$ och $1,$ då
2. Låt $H$ vara en grupp och visa att $G \mapsto H \times G$ definierar en funktor $H \times - : \text{Grp} \rightarrow \text{Grp},$ och att varje gruppmorfism $f : H \rightarrow K$ definierar en naturlig transformation $H \times - \rightarrow K \times -$.
Detta är en funktor $T: \text{Grp} \rightarrow \text{Grp}$ då $H \times G$ definierar en grupp. Där $T(f) = f \times 1$. Vi ser att $\eta$ är en naturlig transformation över $T$ och $1,$ då
1. Hitta en kategori med en pil som är både epic och monic, men ej inverterbar (t.ex. en tät delmängd av ett topologiskt rum).
Låt $\iota : \mathbb Q \rightarrow \mathbb R$ vara inklusion i $\text{Top}.$ Då är $\iota$ ty $\iota(f(x)) = f(x)$ för alla $f : X \rightarrow \mathbb Q.$ Morfismer i $\text{Top}$ är kontinuerliga funktioner, så $f \circ \iota = g \circ \iota \implies f = g,$ där $f(x) = \lim_{x_n \rightarrow x} f(x_n).$ Så $\iota$ är epic och monic men har ingen invers.
2. Visa att komposition av monics är monic och likadant för epics.
Låt $f$ och $g$ vara funktionerna vi vill samansätta. \begin{align} (f \circ g) \circ h_1 &= (f \circ g) \circ h_2\\ \implies f \circ (g \circ h_1) &= f \circ (g \circ h_2)\\ \implies g \circ h_1 &= g \circ h_2\\ \implies h_1 &= h_2 \end{align} \begin{align} h_1 \circ (f \circ g) &= h_2 \circ (f \circ g)\\ \implies (h_1 \circ f) \circ g &= (h_2 \circ f) \circ g\\ \implies h_1 \circ f &= h_2 \circ f\\ \implies h_1 &= h_2 \end{align}
3. Om $g \circ f$ är monic så är $f$ monic. Stämmer detta också för $g?$
Om $g \circ f$ är monic så är $f$ monic ty om $f \circ h_1 = f \circ h_2$ så är $(g \circ f) \circ h_1 = (g \circ f) \circ h_2 \implies h_1 = h_2$. Likaså om $g \circ f$ är epic så är $g$ epic ty om $h_1 \circ g = h_2 \circ g$ så är $h_1 \circ (g \circ f) = h_2 \circ (g \circ f) \implies h_1 = h_2$.
Det motsatta behöver ej gälla i något av fallen.
4. Visa att inklusionen $\iota : \mathbb Z \rightarrow \mathbb Q$ är epic i kategorin $\text{Rng}$ (Ringar utan krav för multiplikativ identitet).
Lägg märke till att morfismer i $\text{Rng}$ bevarar identiteter och inverser. Låt $f, g$ vara morfismer $\mathbb Q \rightarrow R$ och låt $f \circ \iota = g \circ \iota.$ Vi har att $f(\frac{a}{1}) = g(\frac{a}{1})$ för alla $a \in \mathbb Z.$ Då morfismerna bevarar identiteter har vi $f(1) = g(1) = 1_R,$ men $f(1) = f(\frac{a}{1}\frac{1}{a}) = f(\frac{a}{1}) f(\frac{1}{a}) \implies f(\frac{1}{a}) = f(\frac{a}{1})^{-1}$ och likaså för $g$. Vi har därmed $f(\frac{1}{a}) = g(\frac{1}{a}) \implies f = g$ och $\iota$ är epic.
1. Givet ett universum $U$ och en funktion $f : I \rightarrow b$ med definitionsmängd $I \in U$ och där varje värde $f_i$ är ett element i $U,$ för $i \in I,$ visa att den vanliga kartesiska produkten $\Pi_i f_i$ är ett element i $U.$
Vi kan konstruera funktionen $f : I \rightarrow \cup_{i \in I} \{ f_i \}$ via $f(i) = f_i.$ Denna funktionen är surjektiv, och $\cup_{i \in I} \{ f_i \} \subset U$ ty $f_i \in U,$ så axiom (v) säger att $\cup_{i \in I} \{ f_i \} \in U.$ Axiom (iii) medför därför att $\cup \cup_{i \in I} \{ f_i \} \in U.$
2. (a) Givet ett universum $U$ och en funktion $f : I \rightarrow b$ med definitionsmängd $I \in U,$
visa att den vanliga unionen $\cup_i f_i$ är en mängd i $U.$
(b) Visa att denna slutenhetsegenskap kan ersätta axiom (v) och $x \in U \implies \cup x \in U.$
(a) Vi antar som i uppgift 1. att $f_i \in U,$ och egenskapen följer av axiom (v).
(b) Anta att $x \in U.$ Vi definierar en funktion $x : x \rightarrow x,$ vi har då $\cup x \in U.$ Anta nu att vi har en surjektiv funktion $f : a \rightarrow b$ med $a \in U, b \subset U.$ $\cup f \in U$ och vi har $b \in \cup f,$ så axiom (i) medför $b \in U,$ vilket är axiom (v).
1. Visa att produktkategorier inkluderar följande kända specialfall: Monoidprodukt (enobjektskategorier), grupprodukt, mängdprodukt (diskreta kategorier).
Om $G$ och $H$ är grupper så har kategorin $\mathcal G \times \mathcal H$ ett objekt $(G \times H)$ och morfismer $(g, h) : (G \times H) \rightarrow (G \times H)$ är fortfarande inverterbara med inverser $(g^{-1}, f^{-1}).$ Detsamma gäller för mängder och monoider. Den universella egenskapen för produktkategorier medför att kategorin $\mathcal G \times \mathcal H$ måste vara gruppen $G \times H.$ (Den unika funktorn från $(\mathcal G \times \mathcal H) \rightarrow (G \times H)$ är $1.$)
2. Visa att produkten av två preordningar är en preordning.
En morfism $(c, b) \rightarrow (c', b')$ i $\mathcal C \times \mathcal B$ projiceras på $c \rightarrow c'$ och $b \rightarrow b'.$ Om $\mathcal C$ och $\mathcal B$ är preordningar så måste morfismen $(c, b) \rightarrow (c', b')$ stämma på båda faktorerna. Vi kan därför ha som mest en morfism mellan två objekt och produkten är en preordning.
1. Låt $R$ vara en ring. Beskriv $R-\text{Mod}$ som en fullständig delkategori av funktorkategorin $\text{Ab}^R.$
Vi ser $R$ som en diskret monoid. Om $F : R \rightarrow \text{Ab}$ är en funktor så har vi morfismer $F(r) : F(R) \rightarrow F(R),$ där $F(r) \circ (m \circ n) = F(r) \cdot (m + n).$ Med kraven $F(0) \circ m = 0$ och $F(r) \circ (m \circ n) = F(r) \cdot m + F(r) \cdot n$ för alla $m, n \in F(r)$ så är $T(R)$ en $R$-modul. En morfism i funktorkategorin $\text{Ab}^R$ är en $R$-ekvivariant morfism av abelska grupper, vilket är en morfism av $R$-moduler, så delkategorin är fullständig.
2. Beskriv $B^X,$ där $X$ är en ändlig mängd (en ändlig diskret kategori).
Vi ser $X$ som en ändlig diskret kategori. Objekten till $B^X$ är då funktorerna $X \rightarrow B,$ och en funktion $X \rightarrow \text{Obj}(B)$ är då en samling av som mest $|X|$ element i $B.$ Då $X$ bara har identitetsmorfismen så är datan till de naturliga transformationerna (dvs. morfismerna i funktorkategorin) $S \rightarrow T$ bara en samling funktioner $\eta_x : S(x) \rightarrow T(x)$ för alla $x \in X.$
1. Låt $A, B, C$ vara små kategorier. Fastställ en bijektion
$\text{Cat}(A \times B, C)$ är kategorin av alla funktorer $F : A \times B \rightarrow C$ och dess naturliga transformationer. $\text{Cat}(A, C^B)$ är kategorin av alla funktorer $F' : A \rightarrow C^B$ och dess naturliga transformationer. Definiera $\phi : \text{Cat}(A \times B, C) \rightarrow \text{Cat}(A, C^B)$ via $\phi(F)(a)(b) = F(a, b)$ och $\phi^{-1}(F)(a, b) = F(a)(b)$ för objekt. Detta är en bijektion, orkar ej visa naturlighet. MSE om frågan, MSE om currying.
2. Låt $A, B, C$ vara kategorier och fastställ naturliga isomorfier
TODO
3. Använd sats 1 (II.5 s. 43) för att visa att vågrät komposition är en funktor
Lägg märke till att detta syftar på komposition av naturliga transformationer. På objekten är detta detsamma som komposition av funktorer $\circ(S, T) = S \circ T.$ Låt $(\sigma', \sigma), (\tau', \tau) \in \text{Hom}(A^B \times B^C)$ vara kompositionsbara, de uppfyller då växlingslagen $(\tau' \cdot \sigma') \circ (\tau \cdot \sigma) = (\tau' \circ \tau) \cdot (\sigma' \circ \sigma),$ (4) i MacLane. Vi får därmed
1. Låt $K$ vara en kommutativ ring och visa att kommakategorin $(K \downarrow \textbf{CRng})$ är den (vanliga) kategorin av alla små kommutativa $K$-algebror.
Ett objekt i $(K \downarrow \textbf{CRng})$ är en morfism mellan kommutativa ringar $f : K \rightarrow R$ där $k \cdot (r r') = f(k) r r' = r f(k) r'$ ty $R$ är kommutativ och assosiativ. En sådan morfism definierar en algebra över en ring. En morfism i $(K \downarrow \textbf{CRng})$ är triangeln $h(f(k)) = f'(k)$, vilket medför att $h(f(k)r) = h(f(k)) h(r) = f'(k) h(r),$ vilket säger att morfismer $h \in (K \downarrow \textbf{CRng})$ är $K$-linjära och därmed morfismer av $K$-algebror.
2. Om $t$ är ett terminalt objekt i $C$, visa att $(C \downarrow t)$ är isomorft med $C.$
Vi definierar en funktor $F : (C \downarrow t) \rightarrow C$ med $F(f : c \rightarrow t) = c$ på objekt och skickar morfismer