Representationsteori för Ändliga Grupper
En representation $\varphi$ av en grupp $G$ över ett vektorrum $V$ är en avbildning $\varphi : G \times V \rightarrow V$ så att för alla $g \in G$ så är $\varphi(g) : V \rightarrow V$ linjär (över $\mathbb k$), och vi har $\varphi(e, v) = v$ samt $\varphi(g_1, \varphi(g_2, v)) = \varphi(g_1 g_2, v).$
Vi kan istället se en representation som en grupphomomorfism $\varphi : G \rightarrow GL(V).$ Där $GL(V)$ betecknar den allmänna linjära gruppen av alla automorfismer, dvs. alla bijektiva linjära transformationer $V \rightarrow V.$ Eftersom vi kommer att fokusera på ändliga grupper så är detta ännu mer användbart eftersom $GL(V) \cong GL(n, \mathbb k)$ där $n = \text{dim}(V).$ Notera att denna isomorfi beror på basvalet i $V.$
Ofta betecknar vi en representation $(\varphi, V)$ med bara vektorrummet $V$ och skriver $g \cdot v$ istället för $\varphi(g, v).$
En delrepresentation av $(\varphi, V)$ är en representation $(\psi, W)$ så att $W$ är ett delrum av $V$, och $\psi(g) = \varphi(g) |_W.$ Varje representation har sig själv och den triviala representationen $\pi(g, v) = v$ som delrepresentationer. Om en representation inte har några andra delrepresentationer så kallas den för en irreducibel representation.
En $G$-linjär avbildning, eller $G$-modulhomomorfism är en avbildning $f$ mellan representationer $(\varphi, V)$ och $(\psi, W)$ där $f : V \rightarrow W$ är linjär och $f(\varphi(g, v)) = \psi(g, f(v)).$ Vi betecknar mängden av alla $G$-linjära avbildningar mellan två representationer $V$ och $W$ med $\text{Hom}_G(V, W).$
Shurs lemma. Låt $V$ och $W$ vara vektorrum över $\mathbb C$ och låt $\varphi_V$ och $\varphi_W$
vara irreducibla representationer av $G$ på $V$ och $W.$
1. $G$-linjära avbildningar $V \rightarrow W$ är isomorfismer (eller 0) om $V \cong W$ och 0 om $V \ncong W.$
2. Om $f$ är en $G$-linjär avbildning $V \rightarrow V$ så är $f = \lambda \cdot \text{id}_v.$
3. $\text{dim(Hom}_G(V, W)) = 1 \text{ eller } 0.$
1. $\text{Ker} f$ och $\text{Im} f$ är båda delrepresentationer av $V$ respektive $W.$ Anta att $f \neq 0,$ då är $\text{Im} f$ en nollskild delrepresentation av $W,$ så $\text{Im} f = W,$ ty $W$ är irreducibel. $\text{Ker} f$ är en delrepresentation och $V$ är irreducibel så $\text{Ker} f = 0,$ ty $f \neq 0.$
2. Betrakta $g : V \rightarrow V$ där $g = f - \lambda \cdot \text{id}_V.$ Eftersom $V$ är stängd så kan vi hitta ett egenvärde/egenvektor, så $\text{Ker} g \neq 0.$ Då $V$ är irreducibel så måste $g = 0 \implies f = \lambda \cdot \text{id}_V.$
3. Dimensionen är 1 om $V \cong W$ enligt del 2, och 0 om $V \ncong W$ enligt del 1.
Varje irreducibel representation $(\varphi, V)$ av en ändlig abelsk grupp $G$ är 1-dimensionell.
Då $G$ är abelsk har vi $\varphi(g_1) \varphi(g_2) = \varphi(g_2) \varphi(g_1),$ så $\varphi$ är en $G$-linjär avbildning, och enligt del 2 av Shurs lemma får vi $\varphi(g) = \lambda_g \cdot \text{id}_V.$ Alla delrum till $V$ är därmed $G$-invarianta, dvs. delrepresentationer av $V.$ Eftersom $V$ är irreducibel får vi $\text{dim}(V) = 1.$